Hur räkna ut hypotenusan

•

Pythagoras sats

En av de mest kända matematiska satserna är den så kallade Pythagoras sats, som ger oss ett samband mellan en rätvinklig triangels tre sidor. Detta är en sats som man kan få användning av i väldigt många olika sammanhang.

Pythagoras sats

En rätvinklig triangel består av två kortare sidor, som vi kallar kateter, och en längre sida, som vi kallar hypotenusa. De två kateterna möts i en rät vinkel (alltså $90°$) och hypotenusan är motstående till den räta vinkeln. I figuren nedan ser du en typisk rätvinklig triangel, med kateterna och hypotenusan markerade:

I varje rätvinklig triangel råder, enligt Pythagoras sats, följande samband mellan längden på triangelns sidor:

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

där $a$ och $b$ är längderna på kateterna, och $c$ är längden på hypotenusan. Summan av kateternas kvadrater är alltså lika med hypotenusan i kvadrat.

I rutan nedan har en rätvinklig triangel ritats ut. Se även att tre kvadrater har ritats ut, en för varje sida

•

Pythagoras sats

I årskurs 8 lärde vi oss omtrianglar, bland annat omrätvinkliga trianglar, vilka är trianglar som har en vinkel som är 90°.

I tidigare avsnitt har vi även lärt oss att räkna med potenser och kvadratrötter.

I det här avsnittet ska vi bekanta oss med Pythagoras sats, vilken är en mycket användbar matematisk sats som gäller för just rätvinkliga trianglar. När vi räknar med Pythagoras sats räknar vi med potenser och kvadratrötter, som vi har lärt oss räkna med i tidigare kapitel.

Pythagoras sats

En rätvinklig triangel är en triangel som har en vinkel som är 90°.

För rätvinkliga trianglar finns det särskilda namn som man brukar använda för att benämna de olika sidorna. De båda sidor som möts i den räta vinkeln kallar vi kateter. Den återstående sidan kallar vi hypotenusa.

I bilden här nedanför är därför sidan c den rätvinkliga triangelns hypotenusa, och sidorna a och b är triangelns kateter.

Pythagoras sats säger oss att det för varje

•

Pythagoras sats

Vi börjar med att skriva upp Pythagoras sats som namnet till trots inte upptäcktes av Pythagoras.Den var känd och använd långt före hans tid. I en gammalbabylonisk text fanns följande problem:

En stav, som är 30 enheter står längs en vägg. Den glider vertikalt, varvid toppen sjunker 6 enheter. Hur långt har stavens ände glidit längs golvet ? ¹

För att lösa detta krävs att man känner till Pythagoras sats.

I en triangel med en rät vinkel kallas den längsta sidan för hypotenusa och de två andra för kateter.

I figuren är a och b katetrar och c hypotenusan.

För rätvinkliga trianglar gäller Pythagoras sats:

I en rätvinklig triangel är summan av kvadraterna på kateterna lika med kvadraten på hypotenusan.

a² + b² = c²

Omvändningen är också sa